Twitterのプロフィールアイコンには、PNGかGIF画像であれば背景が透明なアイコンが使用できます。
僕も背景が透過なアイコンを使用していますが、実はTwitter.comから透過アイコンを設定することができないんです。(もしかしたらpngの種類によっては可能かも)

背景が勝手に白くなる

▼試しにTwitterの公式サイトからプロフィール画像を変更してみましょう。
▼こんな感じでアップロードする画像は四隅が丸く、影がついています。
保存をしてアイコンを確認すると・・・
▼透明なはずの背景が勝手に白くなっている！？
Tweetbot等、他のクライアントで試しても同じでした。 どうやら勝手に処理されていまっているようです。
▼テーマがブラックなクライアントだと、残念な状態に・・・
しかし、これには回避する方法があります。

回避策

なぜかWEB版のついっぷるからアイコンをアップロードすると、背景が透明なまま保存できるのです。
▼ついっぷるにアクセスし、PC版にログインします。
▼右上のメニューからプロフィール編集画面へ行き
▼ここからファイルをアップロード→保存すると・・・
▼白い背景が付くことなく、ちゃんと透明なままに！！
▼ブラックなクライアントでもきちんと背景が透明なアイコンになっています！

まとめ

なぜかついっぷるだけが設定可能でした。
Tweetbot,Twitter for iPhone,Twitter for Mac,ついっぷる for iPhoneなど試してみたものの、どれも透明部分が勝手に白く(または黒く)なってしまします。

もしかしたら、ついっぷる以外でも透過アイコンがアップロード可能なクライアントがあるかもしれません。

逆に今後の仕様変更でWEB版ついっぷるでも不可能になるかもしれません。

まぁ、僕のアイコンに関しては背景を透明にする意味があんまりないですけどね・・・w